Oppgave

Tegn skjærkraft- og bøyemomentdiagram.

Løsning

Setter opp uttrykk for V og M som funksjon av avstanden x fra venstre ende:

$$x\in <0\text{m},4\text{m}>:$$

\[\begin{align} & \downarrow \Sigma {{F}_{z}}=0\Rightarrow V-3\text{N}+2\frac{\text{N}}{\text{m}}x=0\Rightarrow V=\left( -2x+3 \right)\text{N} \\ & \curvearrowleft \Sigma {{M}_{x}}=0\Rightarrow M-3\text{N}\cdot x+2\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot x\cdot \frac{x}{2}=0\Rightarrow M=\left( -{{x}^{2}}+3x \right)\text{Nm} \\ \end{align}\]

Beregner snittkrefter ved hver ende av intervallet:

\[\begin{align} & x=0\text{m}:V=-2\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 0\text{m}+3\text{N}=3NM=-{{0}^{2}}+3\cdot 0=0\text{Nm} \\ & x=4m:V=-2\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 4\text{m}+3\text{N}=-5\text{N}M=\left( -{{4}^{2}}+3\cdot 4 \right)\text{Nm}=-4\text{Nm} \\ \end{align}\]

Beregner momentet der hvor skjærkraften er lik null:

\[V=0\Rightarrow -2\frac{\text{N}}{\text{m}}x+3\text{N}=0\Rightarrow x=\frac{3\text{N}}{2\frac{\text{N}}{\text{m}}}=1,5\text{m}\Rightarrow M=\left( -{{1,5}^{2}}+3\cdot 1,5 \right)\text{Nm}=2,25\text{Nm}\]

$$x\in <4\text{m},6\text{m}>:$$

\begin{align} & \downarrow \Sigma {{F}_{z}}=0\Rightarrow V-3\text{N}-9\text{N}+2\frac{\text{N}}{\text{m}}x=0\Rightarrow V=\left( -2x+12 \right)\text{N} \\ & \curvearrowleft \Sigma {{M}_{x}}=0\Rightarrow M-3\text{N}\cdot x\text{m}-9\text{N}\cdot (x-4)\text{m}+2\frac{\text{N}}{\text{m}}x\frac{x}{2}=0\Rightarrow M=\left( -{{x}^{2}}+12x-36 \right)\text{Nm} \\ \end{align}

Det ville vært enklere å sette opp momentuttrykk for høyre halvdel:

$$\curvearrowright \Sigma {{M}_{x}}=0\Rightarrow M+2\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot x\cdot \frac{x}{2}=0\Rightarrow M=-{{x}^{2}}\frac{\text{N}}{\text{m}}$$

Beregner snittkrefter ved hver ende av intervallet:

\[\begin{align} & x=4\text{m}:V=-2\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 4\text{m}+12\text{N}=4NM=\left( -{{4}^{2}}+12\cdot 4-36 \right)\text{Nm}=-4\text{Nm} \\ & x=6\text{m}:V=-2\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 6\text{m}+12\text{N}=-5\text{N}M=\left( -{{6}^{2}}+12\cdot 6-36 \right)\text{Nm}=0\text{Nm} \\ \end{align}\]

Høyre ende er som forventet momentfri og M = -4Nm har vi beregnet før. Legg også merke til at høyre ende er som en utkraget bjelke. Strengt tatt har vi derfor fra før all nødvendig informasjon om momentdiagrammet. Tegner skjærkraft- og bøyemomentdiagram: