Oppgave (knutepunktsmetoden)

Beregn opplager- og stavkrefter for fagverket.

Løsning

Sjekker først om fagverket er statisk bestemt. U_F = 3, U_S = 5 og k = 4 gir U_F + U_S = 2k dvs. statisk bestemt. Bestemmer fastholdingskrefter i A og C.

Likevekt av hele konstruksjonen:

\[\begin{align} & \curvearrowright \text{ }\Sigma \text{ }{{M}_{C}}=0\Rightarrow {{A}_{y}}\cdot 6-15\cdot 3+5\cdot 4=0\Rightarrow \underline{{{A}_{y}}=4,17\text{ kN}} \\ & \uparrow \Sigma {{F}_{y}}=0\Rightarrow 4,17-15+{{C}_{y}}=0\Rightarrow \underline{{{C}_{y}}=10,83\text{ kN}} \\ \end{align}\]

Vi ser uten videre at F_Cx = 5kN

Vinkelen er bestemt med tangens:

Knutepunktsdiagram

Likevektslikninger

Setter opp likevektsuttrykk for knutepunktene og her har vi to likninger til disposisjon per knutepunkt.

Knutepunkt A:

\[\begin{align}
  & \uparrow \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{F}_{y}}=0\Rightarrow 4,17+{{F}_{AD}}\sin 53,1{}^\circ =0\Rightarrow \underline{{{F}_{AD}}=-5,21\text{ kN}}\left( \text{trykk} \right) \\
 & \to \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{F}_{x}}=0\Rightarrow {{F}_{AB}}+\left( -5,21 \right)\text{cos}53,1{}^\circ =0\Rightarrow \underline{{{F}_{AB}}=3,13\text{ kN}}\left( \text{strekk} \right) \\ \end{align}\]

F_AB kan alternativt bestemmes med trigonometri:

ΣF_x = 0 og ΣF_y = 0 for knutepunkt B gir F_BD = 15kN og F_BC = 3,13kN.

Knutepunkt C:

Vi har nå funnet alle stavkrefter, men det er fortsatt tre likevektslikninger vi ikke har benyttet (x-likning for knutepunkt C og de to likningene for knutepunkt D). Dette skyldes at vi brukte tre likevektslikninger på konstruksjonsnivå og dermed sitter igjen med tre ubrukte knutepunktslikninger. Vi kan sjekke om vi har regnet rett ved å sette opp likevektsuttrykk for det ubenyttede knutepunktet…

Knutepunkt D:

Beregningene presenteres i et belastningsdiagram hvor stavkreftene tegnes inn med riktig pilretning, dvs. at pilene skal snus for trykkrefter.