Spenninger i flere retninger

Frem til nå har vi begrenset oss til å se på materialspenninger i bjelker. I bjelker har vi en-akset spenningstilstand hvor normalspenninger σ_x virker i bjelkens lengderetning og skjærspenninger τ_xy som virker i tverrsnittet, i lastplanet. Vi skal nå se at normalspenninger kan virke i flere retninger. Figuren under viser en sylindrisk beholder med et indre overtrykk. Hvis vi studerer veggene i trykktanken vil vi finne både langsgående normal­spenninger σ_L og sirkulære normal­spenninger σ_φ. Her har vi altså to-akset spenningstilstand.

Likevekt av venstre halvdel gir:          

           

Likevekt av en skalk gir:                     

           

Hydrostatisk trykk

Hvis vi senker en massiv stålkloss ned på dypt vann så vil klossen ikke bli deformert og materialet vil ikke flyte, uansett hvor stort hydrostatisk trykk materialet utsettes for. Materialet blir ikke påvirket fordi det ytre trykket utlignes av et indre trykk og vi får det samme trykket inni som utenpå. På tilsvarende vis merker vi ikke atmosfæretrykket som er på jordoverflata. En stav som senkes ned på dypt vann tilsvarende aldri knekke ut pga det hydrostatiske trykket.

Det hydrostatiske trykket virker på alle flatene til klossen, og vi får normalspenninger i tre retninger. De tre normalspenningene er like store dvs. σ₁ = σ₂ = σ₃, og en slik spenningstilstand gir ingen belastning på materialet. Hvis vi derimot hadde spenning i kun en retning, dvs. σ₁ ≠ 0, σ₂= 0 og σ₃= 0, ville materialet etter hvert gi etter. Det er forskjellene mellom de tre normalspenningene som gir en belastning på materialet, og materialet flyter hvis den største forskjellen overskrider flytegrensen. Et ytre trykk er aldri noe problem så lenge σ₁ = σ₂ = σ₃. Vi kan sette opp følgende dimensjonerings­kriterium:

Tresca-kriteriet:

Plane spenninger

Plan spenningstilstand vil si at alle spenninger virker i samme planet og σ₃ = 0. Vi ser på en terning som er så liten at spenningene blir tilnærmet de samme på de motstående sidene. En slik terning kalles en partikkel. For plane spenninger blir Tresca-kriteriet som følger.

	Belastning	Dim. kriterium	Kommentar
	Ren aksiallast	σ1 < σf	Kjent fra før
	Strekk i begge retninger σ1 > σ2	σ1 < σf	Den minste normalspenningen (i dette tilfellet σ2) gir ingen belastning på materialet. Det er forskjellen mellom σ1 og σ3 som er dimensjonerende.
	Strekk i en retning, trykk i den andre	σ1 + │σ2│ < σf	σ1 og σ2 bidrar like mye

I diagrammet under er de to normal­spenningene plottet langs hver sin akse. Tresca-kriteriet blir da en sekskant og det skraverte området viser hvilke spenningskombinasjoner som ikke gir flytning. Vi ser at trykk og strekk håndteres likt, og vi ser at diagrammet er symmetrisk som betyr at det ikke har noen betydning hva som er σ₁ og hva som er σ₂. For en gitt σ₂ har σ₁ ingen betydning så lenge den har samme fortegn som σ₂. Hvis σ₁ har motsatt fortegn av σ₂ så reduseres kapasiteten for σ₂ tilsvarende σ₁.

En alternativ framstilling av Tresca-kriteriet er vist under. Her er σ₁ og σ₂ plottet langs samme akse; dersom avstanden mellom σ₁ og σ₂ er større enn flytegrensen så flyter materialet.

Jevnføringsspenning

Regne­messig er det upraktisk med et dimensjonerings­kriterium som er fortegnsavhengig. Hvis vi i stedet bruker en ellipse som går gjennom sekskantens hjørner, jf. figuren under, så gjør vi ikke mye feil. En slik ellipse kan uttrykkes ved følgende ellipselikning.

Vi kan nå sette opp von Mises-kriteriet som er et alternativt dimensjonerings­kriterium i forhold til flyt:

Von Mises-kriteriet

σ_j kalles for jevnføringsspenning og denne har ingen fysisk betydning, men den er et uttrykk for forskjellen mellom σ₁ og σ₂. Selv om ellipsen er en forenkling av teorien, viser det seg at ellipsen passer vel så godt med erfaringsdata som sekskanten. Flerakset spenningstilstand kan altså håndteres ved hjelp av von Mises-kriteriet.

Vi velger σ₁ som den største normalspenningen. Diagrammet over viser hvordan jevnføringsspenningen påvirkes av den andre normalspenningen σ₂. Diagrammet er dimensjonsløst og både σ_j og σ₂ angitt i forhold til σ₁. Vi ser at når de to normalspenningene har samme fortegn så blir jevnføringsspenningen lite påvirket og har omtrent samme verdi som den største normalspenningen (σ_j ≈ σ₁). Men jevnføringsspenningen får en kraftig forsterkning hvis σ₂ har motsatt fortegn av σ₁. Med σ₂ = -σ₁ blir σ_j = 1,73σ₁.

Skjærspenninger

Vi ser på et tynnvegget rør som er belastet med et torsjonsmoment og her får vi kun skjærspenninger. Vi skal se på en partikkel som vist under. For at partikkelen skal være i likevekt både med hensyn på kraft og moment må det virke to like store og motsatt rettede kraftpar på partikkelen.

Vi skal nå se på hvilke spenninger som virker på de diagonale planene i terningen. Vi deler partikkelen i to som vist under, og beregner resultanten av de to skjærkreftene. På den ene diagonalen får vi kun strekknormalspenninger.

På den andre diagonalen får vi kun trykkspenninger. På tilsvarende vis som over får vi σ₂ = −τ. Dette betyr at hvis en partikkel roteres 45° så får vi kun normalspenninger. Vi kan altså sette likhetstegn mellom de to partiklene under:

At skjærspenningene gir strekk i en retning og trykk i den andre retningen tilsier stor belastning på materialet. Vi ser at skjærspenningene gir stor jevnføringsspenning, og materialet flyter når τ = 0,58 σ_F.

Legg merke til at skjærspenninger i et plan er normalspenninger i et annet plan. σ og τ er altså to sider av samme sak og uløselig knyttet sammen. Skjærspenninger gir en deformasjon av materialet omtrent som vist under.

Hovedspenninger

Vi har sett at skjærspenninger i ett plan kan erstattes med normalspenninger i et annet plan. Det viser seg at vi for enhver spenningstilstand kan orientere en partikkel slik at vi får plan med kun normalspenninger. Spenningene i disse planene kaller vi for hovedspenninger.

 

Hovedspenningene er nøkkelen til å håndtere skjærspenninger i mekanikk. Vi kan nemlig alltid omforme koordinatspenninger σ_x og τ_xy til hoved­spenninger σ₁ og σ₂. Og når vi har funnet hovedspenningene kan vi bruke von Mises-kriteriet for å kontrollere spennings­tilstanden i forhold til flyt. I praksis er det en omvei å gå via hovedspenningene og vi setter derfor opp uttrykk for σ_j direkte, som funksjon av koordinatspenningene:

Jevnføringsspenning

Plan spenningstilstand:         

En-akset spenningstilstand:  

Legg merke til at σ_j alltid er en positiv størrelse. Ellers skal vi være oppmerksom på fortegnet for leddet σ_xσ_y i uttrykket over. For bjelker hvor vi kun skal kombinere σ_x og τ_xy blir uttrykket langt enklere. Legg merke til følgende spesialtilfeller:

Normalspenninger fra kontaktkrefter

Når det virker kontaktkrefter på overflaten til en konstruksjon så er det i virkeligheten et trykk som fordeler seg over en flate; all belastning har en viss utstrekning og en punktlast er alltid en forenkling. I materialet rett under kontakttrykket får vi en normalspenning σ_y = p. Belastninger som fordeler seg over svært små flater kan lokalt gi svært store material­spenninger som det må tas hensyn til. Figuren under viser et eksempel på en dårlig forbindelse mellom to bjelker hvor vi lokalt kan få svært store spenninger.