Dersom en bjelke belastes med et bøyemoment så deformeres bjelken omtrent som vist under. Bjelken får en krumning som gjør at undersiden av bjelken strekkes mens oversiden blir presset sammen, og et eller annet sted inni bjelken får vi en overgang fra strekk til trykk hvor det ikke er noen tøyning, kun krumning.

Overgangen fra strekk til trykk skjer i en flate inni bjelken som går langs bjelken og denne kaller vi for nøytralflaten. Hvis vi ser på et bjelketverrsnitt så finner vi denne flaten som en linje og denne linjen kaller vi for nøytralaksen. Nøytralaksen er den linjen i bjelketverrsnittet hvor det ikke er noen tøyning og dermed heller ingen normalspenninger.

Det er vanlig å anta bøyemomenter ikke forvrenger bjelketversnittet, dvs. at et plant tverrsnitt forblir plant ved bøyning. Skjærkreftene V kan nok gi en viss forvrengning av tverrsnittet men denne effekten er svært liten og som regel neglisjerbar. Antakelsen om at plane tverrsnitt forblir plane medfører at tøyningen av tverrsnittet vokser lineært i forhold til avstanden fra nøytralaksen. Så lenge materialet oppfører seg lineærelastisk vil normalspenningene og tøyningene være proporsjonale størrelser, jf. Hookes lov, og vi får normalspenninger som også vokser lineært i forhold til avstanden fra nøytralaksen.

Tøyninger og normalspenninger som følge av bøyning blir som vist under.

Bøyespenningene vokser proporsjonalt med avstanden fra nøytralaksen og vi finner de største bøyespenningene i overkant og i underkant av tverrsnittet. Legg merke til at bøyespenningene er normalspenninger dvs. samme typen spenninger som for aksiallaster. I Meccanica vil vi bruke s_B for bøyespenninger og s_A for aksialspenninger.

Bøyespenningsformelen

Vi skal nå se på den svært viktige bøyespenningsformelen som gir oss normalspenningene for ethvert punkt i et bjelketverrsnitt som er belastet med bøyemomentet M.

σ_B    = Normalspenningene i bjelketverrsnittet som følge av bøyemomentet M_By

M_By     =                Bøyemoment som virker på snittet, om y-aksen. Hentes fra bøyemomentdiagram.

z      = Bøyespenningene er en funksjon av avstanden z fra nøytralaksen

I_y     = Annet arealmoment av bjelkens tverrsnittsareal om y-aksen som går gjennom arealsenteret.

Bøyespenningsformelen kan utledes som følger. Ved hjelp av momentteoremet setter vi opp en sammenheng mellom bøyemoment og normalspenninger, under forutsetning at bøyespenningene fordeler seg som vist på figuren over.

1)      Bøyespenninger vokser proporsjonalt med avstanden z fra arealsenteret:

2)      Momentbidrag fra liten flate dA:

3)      Resultanten blir et kraftpar:

4)      Snur om på uttrykket:

Vi fortsetter og viser at nøytralaksen for ren bøyning må gå gjennom arealsenteret. Vi ser igjen på figuren over som angir spenningsfordelingen på et bjelketverrsnitt hvor det virker et bøyemoment. Ved å plassere origo i nøytralaksen kan vi uttrykke bøyespenningene på en enkel måte: s_B = k·z. Når vi kun har bøyning M og ingen normalkraft N på tverrsnittet kan vi sette opp en likevektslikning i x-retning for normalspenningene.

Ingen normalkraft betyr med andre ord at nøytralaksen går gjennom arealsenteret. Resultanten av bøyespenningene blir et rent kraftpar og de to trekantene i figuren over representerer to like og motsatt rettete krefter. Dersom det også virker en normalkraft N på snittet så vil z_c ≠ 0, dvs. at det er en avstand fra nøytralaksen til arealsenteret. Normalkraften flytter altså nøytralaksen vekk fra arealsenteret.

Eksempel

Vi skal finne sammenhengen mellom bøyemoment og bøyespenninger for en bjelke med rektangulært tverrsnitt. Dette kan f.eks. være en flattstålbjelke. På grunn av den enkle geometrien kan vi bruke trekantbetraktninger:

Vi erstatter strekkspenningene og trykkspenningene med to like store og motsatt rettete krefter. Den trekantete fordelingen tilsier at kraftparets arm blir 2h/3. Uttrykker kraftparets moment som følger:

Vi snur om på uttrykket og får et uttrykk for de største bøyespenningene.

Legg merke til uttrykket bh²/6 som er en rent geometrisk størrelse. Vi ser at spesielt profilets høyde har stor innvirkning på spenningsnivået. Spenningene ved posisjonen z kan uttrykkes som:

Dermed kan vi sette opp en formel bøyespenningene i et vilkårlig punkt på tverrsnittet:

Hvis vi sammenlikner formelen over med bøyespenningsformelen så ser vi at I_y = bh³/12. Vi har altså funnet et uttrykk for den geometriske størrelsen I_y for rektanguære flater. Dette er et svært viktig resultat som vi tar med oss videre.

Bøyespenningsformelen gir oss normalspenningene på tverrsnittet, som funksjon av avstanden z fra nøytralaksen. Vi ser at bøyespenningene vokser proporsjonalt med bøyemomentet.

Annet arealmoment som inngår i bøyespenningsformelen er en rent geometrisk størrelse som uttrykker tverrsnittets motstand i forhold til bøyning. Beregning av denne kan være litt omstendelig og temaet behandles som eget tema.

Nøytralaksens betydning

Nøytralaksen er den linjen hvor vi ikke har bøyespenninger, og dersom det kun virker et bøyemoment på tverrsnittet vil nøytralaksen gå gjennom tverrsnittets arealsenter. Legg merke til at nøytralaksen kan betraktes som den aksen som bøyemomentet virker om. Vi kan bøye en bjelke på mange forskjellige måter og nøytralaksens orientering er avhengig av hvordan vi bøyer bjelken, jf. figur over. For symmetriske tverrsnitt ligger nøytralaksen “i midten” og normalspenningene i overkant σ_Bo blir like store og motsatt rettet av normalspenningene i underkant σ_Bu. For usymmetriske tverrsnitt finner vi de største bøyespenningene på den siden som er lengst ifra nøytralaksen. Dette er illustrert i figuren under hvor σ_Bu er større enn σ_Bo. Arealsenterets beliggenhet har altså stor betydning for spenningsfordelingen.

                                Usymmetrisk                                                             Symmetrisk

Tverrsnittsmodul

Som regel er vi bare interessert i å bestemme de største bøyespenningene, f.eks. bøyespenningene i σ_Bu i underkant av profilet dersom og vi kan forenkle bøyespenningsformelen som følger

På tilsvarende vis kan vi sette opp et uttrykk for W_yo som refererer til profilets overkant. W_yu er en geometrisk størrelse som heter tverrsnittsmodul og den gir oss m For profiler som er symmetriske om y-aksen vil tverrsnitt vil W_yo = W_yu og vi kan finne denne i profiltabeller. Tverrsnittsmodulen er et mål på et profils styrke i forhold til bøyning.

Kombinasjon av normalkraft og bøyemoment

Både normalkrefter N og bøyemomenter M_B gir normalspenninger på bjelketverrsnittet, dvs. spenninger som er av samme type og som virker i samme retning.  Vi har satt opp uttrykk for både σ_A og σ_B. Hvordan kan vi kombinere normalspenninger som følge av en normalkraft og normalspenninger som følge av et bøyemoment?

Både aksialkrefter og bøyemoment gir normalspenninger. I og med at s_A og s_B virker i samme retning kan disse uten videre adderes, og vi kan sette opp følgende uttrykk:

Denne formelen kalles for Naviers formel. Legg merke til at på den ene siden av nøytralaksen virker s_A og s_B i samme retning og her forsterker de hverandre. På den andre siden av nøytralaksen virker s_A og s_B i motsatt retning og her motvirker de hverandre. I og med at s_B gjerne er de dominerende spenningene kan vi si at s_A enten bidrar til å redusere eller øke bøyespenningene. For å holde styr på trykk- og strekkspenninger må vi enten bruke fortegnsreglene eller vi kan tegne en figur som viser spenningene.

 

Som regel er s_B langt større enn s_A, og normalkrefter varierer gjerne lite langs bjelken. Det er derfor vanlig å sjekke tverrsnittet med størst bøyemoment. Her beregner vi de største bøyespenningene dvs. s_Bu og s_Bo og korrigerer vi disse med s_A. Til slutt skal vi nevne at bøyemomenter kan virke om forskjellige akser og den komplette Naviers formel blir som følger: