Oppgave

Bestem største nedbøyning for fritt opplagret IPE300 stålbjelke med jevnt fordelt last og punktlast på midten.

Løsning

Fra tabeller henter vi følgende profilegenskaper for IPE300:

G = 42,2kg/m = 422 N/m

I_x = 8356cm⁴ = 83,6·10⁶mm⁴

E_stål = 210GPa = 210·109 N/m²

Linjelast hvor vi tar hensyn til bjelkens egenvekt:        q = q_L+ q_G = 9000 + 422 = 9422N/m

Bjelkens bøyestivhet

$$E{{I}_{y}}=210\cdot {{10}^{9}}\frac{\text{N}}{{{\text{m}}^{2}}}\cdot 83,6\cdot {{10}^{-6}}{{\text{m}}^{4}}=17,56\cdot {{10}^{6}}\text{N}{{\text{m}}^{2}}$$

Vi har sammensatt last og må beregne nedbøyningen for hver dellast. Vi bruker superposisjonsprinsippet, legger enkeltnedbøyninger sammen og finner samlet nedbøyning. Utbøyning på midten pga punktlasten bestemmes vha. utbøyningsformler nr. 6:

$${{\delta }_{6}}=\frac{F{{L}^{3}}}{48EI}=\frac{50000\text{N}\cdot {{\left( 7\text{m} \right)}^{3}}}{48\cdot 17,56\cdot {{10}^{6}}\text{N}{{\text{m}}^{2}}}=0,0207\text{m}$$

Utbøyningen på midten som følge av den fordelte lasten bestemmes vha. utbøyningsformler nr. 7:

$${{\delta }_{7}}=\frac{5}{384}\frac{q{{L}^{4}}}{EI}=\frac{5}{384}\cdot \frac{9422\cdot {{\left( 7\text{m} \right)}^{4}}}{17,56\cdot {{10}^{6}}\text{N}{{\text{m}}^{2}}}=0,0171\text{m}$$

Samlet utbøyning på midten:

$$\delta ={{\delta }_{6}}+{{\delta }_{7}}=20,7\text{mm}+17,1\text{mm}=\underline{37,8\text{mm}}$$

Vi prøver også overslagsformelen som angir utbøyning som funksjon av M_dim. Da må vi først bestemme opplagerkrefter og deretter største bøyemoment:

\begin{align}
& {{F}_{A}}={{F}_{B}}=\frac{1}{2}\left( 4922\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 7\text{m}+50000\text{N} \right)=57977\text{N}=58,0\text{kN} \\
& {{M}_{dim}}=57977\text{N}\cdot 3,5\text{m}-\left( 9422\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot 3,5\text{m} \right)\cdot 1,75\text{m}=145210\text{Nm} \\ \end{align}

Største utbøyning, overslag:

$${{u}_{maks}}<\frac{{{L}^{2}}}{8EI}{{M}_{maks}}=\frac{{{\left( 7\text{m} \right)}^{2}}}{8\cdot 17,56\cdot {{10}^{6}}\text{N}{{\text{m}}^{2}}}145210~\text{Nm}=\underline{0,051\text{m}}$$

Svaret er, som forventet, noe høyere enn eksakt beregnet utbøyning.

Oppgave

Bestem største nedbøyning for utkragerbjelke.

Løsning

Ser på nedbøyning for hver punktlast for seg.

Formel nr. 6 gir oss utbøyning på enden u₁ som følge av punktlasten på enden. Formelen gir også utbøyning på midten u₂₁ som følge av punktlasten på midten hvis vi erstatter L med L/2.

\begin{align}
& {{u}_{1}}=\frac{F{{L}^{3}}}{3EI} \\
& {{u}_{21}}=\frac{F{{\left( L/2 \right)}^{3}}}{3EI}=\frac{F{{L}^{3}}}{24EI} \\ \end{align}

Punktlasten på midten medfører også at midtpunktet roterer vinkelen φ. Vinkelen blir til en utbøyning ved enden.

$$\varphi =\frac{F{{\left( L/2 \right)}^{2}}}{2EI}=\frac{F{{L}^{2}}}{8EI}\Rightarrow {{u}_{22}}=\varphi \cdot \frac{L}{2}=\frac{F{{L}^{3}}}{16EI}$$

Total utbøyning:

$$u={{u}_{1}}+{{u}_{21}}+{{u}_{22}}=\frac{F{{L}^{3}}}{3EI}+\frac{F{{L}^{3}}}{24EI}+\frac{F{{L}^{3}}}{16EI}=\frac{7}{16}\frac{F{{L}^{3}}}{EI}$$

Eksempel

Bestem nedbøyning ved enden for bjelke med overheng

Løsning

Formel nr. 4:

$${{\varphi }_{B}}=\frac{ML}{3EI}=\frac{FL}{2}\frac{L}{3EI}=\frac{F{{L}^{2}}}{6EI}\Rightarrow {{u}_{1}}=\varphi \cdot \frac{L}{2}=\frac{F{{L}^{3}}}{12EI}$$

Formel nr. 6:

$${{u}_{2}}=\frac{F{{\left( L/2 \right)}^{3}}}{3EI}=\frac{F{{L}^{3}}}{24EI}$$

Total utbøyning:

$$u={{u}_{1}}+{{u}_{2}}=\frac{F{{L}^{3}}}{12EI}+\frac{F{{L}^{3}}}{24EI}=\frac{1}{8}\frac{F{{L}^{3}}}{EI}$$