Eksamen 2014A, oppgave 2
Figuren viser en kasse med utstyr som til sammen har tyngden 40kN og tyngdepunktet befinner seg midt i kassen. Kassen har to små klosser som føtter. Kassen skal plasseres oppå en fritt opplagret stålbjelke av typen IPE220 med spennlengde på 4,0m.
- Beregn største normalspenninger for IPE220-bjelken når kassen er plassert slik figuren viser. I denne oppgaven tas det ikke hensyn til hullet i bjelken.
- Det er laget et hull i bjelkens steg midt mellom opplagrene, se figur. Beregn største normalspenninger i et snitt ved hullet.
- Beregn største skjærspenninger i bjelken. Her kan det antas at skjærkraften kun tas opp av steget i form av jevnt fordelte skjærspenninger.
- Når kassen skal plasseres oppå bjelken vil den eksakte plasseringen av kassen være noe usikker. Vis at størst bøyemoment i bjelken oppnås dersom kassen plasseres akkurat slik som vist i figuren.
LØSNING 1
I og med at tyngden ligger midt i kassen fordeler vekten seg likt på de to klossene.
Likevektslikninger:
\[\begin{align}
&\curvearrowright \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{M}_{A}}=0\Rightarrow 20\cdot 1,5+20\cdot 3,5-{{F}_{B}}\cdot 4=0\Rightarrow \underline{{{F}_{B}}=25\text{kN}}\\
&\uparrow \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{F}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{A}}+25-20-20=0\Rightarrow \underline{{{F}_{A}}=15\text{kN}}\\
\end{align}\]
Belastningsdiagram:
Momentdiagram:
IPE220 har Wsub = 252cm3 og Iy = 2772 cm4
$${{\sigma }_{maks}}=\frac{{{M}_{dim}}}{{{W}_{y}}}=\frac{22,5\cdot {{10}^{6}}\text{Nmm}}{252000\text{m}{{\text{m}}^{\text{3}}}}=\underline{\underline{89,3\text{MPa}}}$$
LØSNING 2
Bestemmer momentet midt på bjelken ved å dele bjelken i to.
$$\curvearrowright \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{M}_{c}}=0\Rightarrow {{M}_{c}}+20\cdot 1,5-25\cdot 2,0=0\Rightarrow \underline{{{M}_{c}}=20\text{kNm}}$$
Korrigerer annet arealmoment for hullet
$${{I}_{y}}=27,72\cdot {{10}^{6}}-\frac{1}{12}5,9\cdot {{150}^{3}}=\underline{26,06\cdot {{10}^{6}}\text{m}{{\text{m}}^{\text{4}}}}$$
Bestemmer største normalspenninger i snittet midt på bjelken ved hjelp av bøyespenningsformelen.
$${{\sigma }_{o}}={{\sigma }_{u}}=\frac{M}{{{I}_{y}}}{{z}_{u}}=\frac{20\cdot {{10}^{6}}}{26,06\cdot {{10}^{6}}}\cdot 110=\underline{\underline{84,4\text{MPa}}}$$
LØSNING 3
Tegner skjærkraftdiagram
Det er naturlig å sjekke et snitt ved hullet hvor V = 5kN og et snitt ved høyre ende hvor V = 25kN.
Ved hullet:
\[\begin{align}
&{{A}_{steg}}=\left( 220-150-2\cdot 9,2 \right)\cdot 5,9=51,6\cdot 5,9=304,4\text{m}{{\text{m}}^{\text{2}}}\\
&{{\tau }_{hull}}\approx \frac{V}{{{A}_{steg}}}=\frac{5000}{304,4}=\underline{16,4\text{MPa}}\\
\end{align}\]
Ved høyre ende:
\[\begin{align}
&{{A}_{steg}}=\left( 220-2\cdot 9,2 \right)\cdot 5,9=201,6\cdot 5,9=1189\text{m}{{\text{m}}^{\text{2}}}\\
&{{\tau }_{høyre}}\approx \frac{V}{{{A}_{steg}}}=\frac{5000}{1189}=\underline{\underline{21,0\text{MPa}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ (Denne er størst)}\\
\end{align}\]
LØSNING 4
Størst bøyemoment vil alltid være ved en av punktlastene. Plasserer venstre punktlast ved posisjonen x fra A. Setter opp et uttrykk for reaksjonskraften i A for denne situasjonen.
Setter opp et uttrykk for bøyemomentet ved venstre punktlast, x∈<0, 2>.
$$\curvearrowright \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{M}_{B}}=0\Rightarrow {{F}_{A}}\cdot 4-20\cdot \left( 4-x \right)-20\cdot \left( 2-x \right)=0\Rightarrow {{F}_{A}}=30-10x$$
Finner momentets ekstremverdi
$$\frac{dM}{dx}=30-20x=0\Rightarrow x=1,5\text{m}\Rightarrow M=22,5\text{kNm}$$
Resultatet er det samme som i oppgave (1). Største moment som funksjon av kassens posisjon x, ser ut som følger.
